Spline Tubular de Lagrange de Radio Variable.

Abstract

Los splines son secciones de curvas o superficies conectadas con cierto grado de suavidad y que en general sirven para aproximar objetos geométricos. En el área de modelación geométrica se usan para construir gráficos en 2D y 3D, animaciones, ondas de audio y otros. Los splines se construyen principalmente, uniendo segmentos de curvas ó superficies. En el caso que los splines son formados por funciones polinómicas, se les asigna un grado de acuerdo al máximo grado de los polinomios utilizados. Una característica de los splines polinómicas es que las expresiones algebraicas que los representan son bastante sencillas y de fácil manipulación. Sobre un splines se definen asas de control tales como: interpolación, tangencia, curvatura, orden de conexión, las cuales permiten manipular su forma Geométrica. Estas asas se vinculan con las expresiones algebraicas de los segmentos asociados al splines. En particular los spline pueden formarse con dos segmentos de superficies tubulares, generadas por la envolvente de una familia monoparamétrica de esferas. Este tipo de superficies son de las principales primitivas geométricas usadas en la modelación de estructuras tubulares de radio constante o variable y de conexión suave. Estas superficies han sido estudiadas por importantes geómetras en el área de C.A.G.D (Computer Aided Geometric Design) durante los últimos 20 años, cabe destacar a W. Boehm, Pottman, Larry Schumaker, entre otros. Diversos modelos matemáticos se emplean para la construcción los spline tubulares, por ejemplo: el modelo propuesto por Dan Pedoe, el modelo de Moebius y el modelo de Laguerre. En este trabajo se emplea el modelo propuesto por Dan Pedoe el cual establece una correspondencia biyectiva entre puntos y rectas que yacen en el exterior de una cuádrica R4, y esferas, círculos y/o puntos en el espacio 3D. El presente trabajo en está orientado al diseño de splines tubulares de radio variable a partir de una cónica de Lagrange. Los splines tubulares tienen propiedades tales como: continuidad, interpolación, conexión G1 (continuidad de los planos tangentes a lo largo del círculo de contacto) y además cada segmento de superficie está dado por una ecuación algebraica de grado cuatro muy sencilla y se puede controlar localmente la dilatación ó contracción de todo segmento. La utilidad de un spline de este tipo reside en que se posibilita la construcción de un tubo por defecto, el cual permite su fácil manipulación. Por otro lado, cada superficie tubular generada por la envolvente de una familia de esferas dada por la correspondencia de una cónica a través del modelo de Pedoe, tiene asociada una familia de círculos cuyos centros forman una cónica de Lagrange de grado 4 Este trabajo tiene como objetivo secundario el circulo de la expresión algebraica de dicha curva, además de lograr su representación en términos de los polinomios de Lagrange.